DSS - WuK

Name des Modells:

ökonomie AP5

Modellentwickler:

Dr. Kai Staupendahl, Prof. Dr. Bernhard Möhring

Zielsetzung/Zweck:

Ziel ist die forstökonomische Bewertung des Klimawandels mit Hilfe eines dynamischen Betriebsmodells, das eine vollständige (Teilmodell 1) oder auf eine bestimmte Periode beschränkte (Teilmodell 2) Entwicklung eines modellhaften Reinbestandes unter Risikoeinfluss abbildet, die kalamitätsbeeinflussten Zahlungsströme kalkuliert und auf dieser Basis die Berechnung des durchschnittlichen (Teilmodell 1) oder periodischen (Teilmodell 2) jährlichen Holzproduktionswertes erlaubt. Mit Hilfe dieser Kenngrößen können zum einen die relative ökonomische Vorteilhaftigkeit der Hauptbaumarten unter sich ändernden Umweltbedingungen beurteilt werden (Teilmodell 1), zum anderen werden Grundlagen für Nutzungsentscheidungen in einer konkreten, risikobehafteten Baumarten-/Altersklasse geliefert (Teilmodell 2).

Modelltyp:

Regressions-Modelle, Überlebensanalyse, Wahrscheinlichkeitstheorie

Zustandsvariablen:

(Zielvariablen):

Name	Einheit	Beschreibung
HP0,1, HP0,5 und HP0,9	€/ha/a	0,1-, 0,5-(Median) und 0,9-Quantil der unter Risikoeinfluss möglichen jährlichen Deckungsbeiträge aus der Holzproduktion (Holzproduktionswert). Bei Betrachtung des gesamten Produktionszeitraumes handelt es sich um den durchschnittlichen jährlichen Holzproduktionswert (Teilmodell 1), ansonsten um den periodischen jährlichen Holzproduktionswert (Teilmodell 2). Die Quantile geben die Beträge an, die mit 90 % (0,1-Quantil), 50 % (0,5-Quantil) oder 10 % (0,9-Quantil) Wahrscheinlichkeit mindestenserzielt werden.
RK	€/ha/a	Risikokosten als Differenz der Erwartungswerte des Holzproduktionswerts mit und ohne Risiko

Skaleneben:

Das Modell kalkuliert die während der Entwicklung eines Reinbestandes zu erwartenden Zahlungsströme in 5-Jahres-Schritten, vom Zeitpunkt der Bestandesbegründung (Teilmodell 1) bzw. vom Bestandesalter, das vom Nutzer gewählt wurde (Teilmodell 2), bis zum Ende der planmäßigen Umtriebszeit. Das Wachstum dieses modellhaften Bestandes ist standortsabhängig und wird somit bestimmt durch das vom Nutzer ausgewählte Bodenprofil und die Daten des Klimaszenarios, die in einer räumlichen Auflösung von 20 x 20 km (Teilmodell 1) bzw. 1 x 1 km (Teilmodell 2) vorliegen.

Prozessüberblick und Ablaufplan:

Das dynamische Betriebsmodell basiert im wesentlichen auf drei Sub-Modellen:

1. Beschreibung der Entwicklung des normalen Vorrats und der normalen Gesamtwuchsleistung und Nutzungen mit Hilfe eines Produktionsmodells
2. Kalkulation der normalen und kalamitätsbeeinflussten Holzerntekosten und -erlöse mit Hilfe eines Kosten-/Erlösmodells
3. Schätzung der altersabhängigen Wahrscheinlichkeit eines Bestandesausfalls aufgrund von naturalen Risiken (Sturm, Trockenheit, Insekten) mit Hilfe eines Risikomodells

Stochastizität:

Aufgrund der naturalen Risiken Sturm, Trockenheit und Insekten besteht die Gefahr eines vorzeitigen Ausfalls des Bestandes. Die Produktionsdauer ist somit eine Zufallsvariable, deren Häufigkeitsverteilung hier mit Hilfe der Weibullfunktion (Teilmodell 1) bzw. durch eine Gleichverteilung (Teilmodell 2) beschrieben wird. Da der jährliche Holzproduktionswert u.a. von der Produktionsdauer abhängt, unterliegt also auch er einer Streuung, die hier durch die 0,1-, 0,5- und 0,9-Quantile quantifiziert wird. Tatsächlich dürfte die Streuung z. B. aufgrund von Holzpreisschwankungen noch größer sein. Um die Effekte des Klimawandels deutlich werden zu lassen, wurde aber auf eine Berücksichtigung solcher Streuungsquellen verzichtet.

Input:

Name	Einheit	Beschreibung
GWL	Vfm/ha	Normale Gesamtwuchsleistung in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
VhaV	Vfm/ha	Normaler Holzvorrat des verbleibenden Bestandes in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
NhaV	1/ha	Normale Stammzahl des verbleibenden Bestandes in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
DgV	cm	Durchmesser des Grundflächenmittelstamms des verbleibenden Bestandes in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
Vhaa	Vfm/ha	Entnommener Vorrat bei normaler Nutzung in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
Nhaa	1/ha	Entnommene Stammzahl bei normaler Nutzung in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
Dga	cm	Durchmesser des Grundflächenmittelstamms des ausscheidenden Bestandes in 5-Jahres-Schritten (BWin-Ertragstafel)
hi	%	Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der betrachten Periode aufgrund von Sturm (i = 1), Trockenheit (i = 2) und Insekten (i = 3)
fEfm	-	Faktor zur Umrechnung von Vfm m.R. in Efm o.R. (nach Kramer 1990, S. 32, für jede Baumart der Mittelwert aus den Werten für Vornutzung u. Endnutzung)
Au	Jahre	Planmäßiges Endnutzungsalter (Fichte: 100; Kiefer: 120; Douglasie: 80; Eiche: 180; Buche: 140)

Submodelle:

Der mit Hilfe des Betriebsmodells berechnete Holzproduktionswert beschreibt die mittlere Ertragsleistung einer Baumart unter den Bedingungen des Klimaszenarios der betrachteten Periode im betrachteten Zeitraum (gesamter planmäßiger Produktionszeitraum im Teilmodell 1, Zeitraum vom gewählten Bestandesalter bis zum planmäßigen Endnutzungsalter im Teilmodell 2). Hierzu muss im Teilmodell 1 eine vollständige Bestandesentwicklung abgebildet werden, die innerhalb einer 30-jährigen Periode natürlich nicht tatsächlich stattfinden kann. Zu gleichen Ergebnissen kommt man aber auch, wenn man das zeitliche Nacheinander durch ein räumliches Nebeneinander ersetzt. Der hier berechnete Holzproduktionswert entspricht dann dem konstanten jährlichen Überschuss aus der Holzproduktion einer normalen Betriebsklasse unter Risikoeinfluss, d. h. mit stationärer, aber rechtsschiefer Altersklassenverteilung. Dabei wird angenommen, dass die für die Periode unterstellten Umweltbedingungen für den gesamten Produktionszeitraums gelten.

Produktionsmodell:

Als Produktionsmodell wird der Wachstumssimulator BWINPro 7 der Nordwestdeutschen Forstlichen Versuchsanstalt eingesetzt (Nagel et al., 2006). Da eine dynamische Berechnung der Bestandeswerte im Teilmodell 1 die Antwortzeiten des DSS zu sehr verlangsamen würde, wurden im AP3 mit BWINPro "Ertragstafeln" erzeugt, und zwar für absolute Mittelhöhenbonitäten mit Bezugsalter 100 in 5 m-Stufen. Sie besitzen den Vorteil, dass sie die heutigen Bestandesbehandlungen deutlich besser abbilden als die alten Ertragstafeln (z. B. Schober, 1995). Für alle weiteren Berechnungen innerhalb des Betriebsmodells wird im Teilmodell 1 also auf diese vorprozessierten Daten zugegriffen. Die Auswahl der Ertragstafeln, ggf. mit Interpolation, erfolgt mit Hilfe der standortsabhängig geschätzten Mittelhöhenbonität (s. Zuwachsmodell). Im Teilmodell 2 wird die Bestandesentwicklung dynamisch simuliert, wobei die Schätzung der Bonität alle 10 aktualisiert wird.

Kosten-Erlösmodell

Um die kalamitätsbedingten Mehrkosten quantifizieren zu können, mussten zunächst getrennte Modelle für normale und Kalamitätsnutzungen entwickelt werden. Als Datenbasis stand hierfür ein umfangreicher Auszug aus der Kosten-Leistungsrechnung der Niedersächsischen Landesforsten (2008) zur Verfügung, der für jeden Hieb u.a. die Erntekosten je Efm und für jede innerhalb eines Hiebes genutzte Baumart die Nutzungsart (normale oder Kalamitätsnutzung), das Arbeitsverfahren, das Alter, die Leistungsklasse (dGZ_max), das Hiebsvolumen, die Stammholz- und Industrieholzanteile und innerhalb des Stammholzes die Güteklassenanteile enthielt.

Der Mitteldurchmesser des ausscheidenden Bestandes (Dg), die für Kosten- und Erlösfunktionen entscheidende Größe, war leider nicht angegeben und musste über das Alter und die Leistungsklasse aus der Ertragstafel ermittelt werden. Unter der Annahme, dass bei den heute üblichen, hochdurchforstungsartigen Eingriffen der mittlere Durchmesser der entnommenen Bäume in der Vornutzung ungefähr dem Mitteldurchmesser des Gesamtbestandes entspricht, wurde der nach dem Ansatz von Wollborn und Böckmann (1998) kalibrierte Ertragstafeldurchmesser des Gesamtbestandes als Mitteldurchmesser des ausscheidenden Bestandes verwendet. Datensätze, die keine Angaben zum Alter und zur Leistungsklasse enthielten, konnten somit nicht berücksichtigt werden. Eingehende Plausibilitätskontrollen reduzierten den Datenumfang weiter: Es wurden nur Datensätzen von Hieben berücksichtigt, die mindestens auf Unterabteilungsebene verbucht und entweder einer normalen Nutzung oder einer Kalamitätsnutzung aufgrund von Sturm, Schneebruch oder Insektenbefall zugeordnet waren. Um den Einfluss des Arbeitsverfahrens untersuchen zu können, durften außerdem nur Datensätze von Hieben verwendet werden, in denen nur ein Ernteverfahren angewandt wurde und in dem die Aufarbeitung nicht durch Selbstwerber durchgeführt worden war, da deren Kosten direkt mit den Einnahmen verrechnet werden. Weiterhin mussten folgende Kriterien erfüllt sein: Gesamtkosten/Efm > 0 €, Rückekosten/Efm > 0 €, mind. 10 Efm Einschlagsvolumen je Baumart, -1 <= Ertragsklasse <= 5 und 10 cm <=Dg (kal.) <= 70 cm. Auswertbar waren somit 4909 Datensätze.

Diese Daten wurde mit Hilfe der Kovarianzanalyse untersucht. Da die Zielvariable "Erntekosten pro Efm" nur positive Werte annehmen kann und daher eine rechtsschiefe, von der Normalverteilung abweichende Verteilung aufweist, und die in der linearen Regression geforderte Varianzengleichheit nicht gegeben war, wurde für die Zielvariable eine Gammaverteilung unterstellt und ein generalisiertes lineares Modell mit Log-Linkfunktion formuliert (Gamma Regression, vgl. Fahrmeir et al. 2007, S. 215 f.). Die Schätzung der Modell-Koeffizienten erfolgte mit Hilfe der Funktion glm des Statistik-Paketes R (R Development Core Team, 2006). Alternativ wäre eine log-Transformation der Erntekosten in einem einfachen linearen Modell denkbar gewesen, dies hätte jedoch die bekannte unterschätzende Tendenz der Modellvorhersagen zur Folge gehabt.

Als unabhängige Faktorvariablen wurden die Baumart, die Nutzungsart (NORM = normale Nutzung; KALAM = Kalamitätsnutzung) und das Arbeitsverfahren (HM = hochmechanisierte Holzernte; MM = motormanuelle Holzernte) und als stetige Kovariable der Mitteldurchmesser des ausscheidenden Bestandes (Dg) untersucht. Da die Erntekosten je Hiebsmaßnahme angegeben waren und somit bei mehreren Baumarten innerhalb eines Hiebes ein Kostenwert mehreren Dg-Werten zugeordnet war, wurden - unter der Annahme, dass die Erntekosten wesentlich durch den Dg bestimmt werden - die Beobachtungen in der Regression mit ihrem Anteil am gesamten Einschlagsvolumen des jeweiligen Hiebes gewichtet.

Die Baumart stellte sich als nicht signifikante Einflussgröße heraus und signifikante Wechselwirkungen konnten nur zwischen dem Arbeitsverfahren und dem Dg festgestellt werden. Das gefundene Modell lautet demnach:

EK ~ AV + NA + log(Dg) + AV:log(Dg)

• mit
• EK = Erntekosten in EUR/Efm
• AV = Arbeitsverfahren
• NA = Nutzungsart
• Dg = Durchmesser des Grundflächenmittelstamms des aussch. Bestandes in cm

Koeffizienten:

		Std.fehler	t-Wert	P(>|t|)
Interzept	4.71579	0.09200	51.256	< 2e-16 ***
NA.KALAM	0.15465	0.01334	11.595	< 2e-16 ***
AV.MM	0.50943	0.13371	3.810	0.000141 ***
log(Dg)	-0.48738	0.02770	-17.597	< 2e-16 ***
AV.MM:log(Dg)	-0.09421	0.03776	-2.495	0.012619 *

Erklärte Deviance (McFaddens-R²): 0.1786

Somit ergeben sich 4 Kostenfunktionen, deren Kurvenverläufe über dem Dg in Abb. 1 dargestellt sind. Wie der Likelihood-Verhältnis-Test zeigt, sind nicht nur die einzelnen Koeffizienten, sondern auch das Gesamtmodell signifikant von Null verschieden, wenngleich das Pseudo-R² mit 0,18 auf eine hohe Reststreuung hinweist, die auch in Abb. 1 deutlich erkennbar ist. Angesichts der zu erwartenden Ungenauigkeit von Buchungsdaten erscheint sie jedoch noch akzeptabel. Zudem sind der Verlauf der Vorhersagewerte und ihre absoluten Größenordungen plausibel.

Zum Vergleich sind in den Grafiken die Erntekosten für Fichte u. Buche gemäß der Waldbewertungsrichtlinien WBR 2008 abgebildet, wobei bei hochmechanisierter Holzernte Kostenstufe 1, bei motormanueller Aufarbeitung Kostenstufe 2 unterstellt wurde. Hier zeigt sich, dass die mit dem Modell geschätzten Holzerntekosten im Durchmesserbereich 15 bis 35 cm deutlich stärker auf eine Abnahme des Dg reagieren, bei noch geringeren Durchmessern dann aber weniger stark zunehmen als in den WBR-Tabellen. Dies ist vermutlich auf die große Streuung der Daten zurückzuführen, die eine Glättung des Kostenverlaufs bewirkt, und auf die geringe Anzahl von Beobachtungen mit sehr kleinen Durchmessern. Zudem muss bedacht werden, dass die Durchmesser nicht als Primärdaten vorlagen, sondern mit Hilfe von Ertragstafeln geschätzt werden mussten. Für die Plausibilität dieser Schätzungen spricht allerdings, dass nur wenige Werte < 15 cm vorkommen, da unterhalb dieses Durchmessers Eingriffe aufgrund der hohen Aufarbeitungskosten normalerweise unterbleiben.

Dennoch ist zu erwarten, dass die geschätzten absoluten Aufarbeitungskosten im Einzelfall von den wahren Kosten deutlich abweichen können, zumal nicht nach Baumarten differenziert wird. Hier interessiert jedoch v. a. das Verhältnis von kalamitätsbeeinflussten zu normalen Erntekosten. Da zwischen der Nutzungsart und den anderen Variablen des Modells keine Wechselwirkungen festgestellt wurden, ist dieses Verhältnis unter der gegebene Modellformulierung über alle Durchmesser und Arbeitsverfahren konstant und entspricht exp(NA.KALAM) = 1,1672. Zur Schätzung der normalen Holzerntekosten werden im DSS die Modellgleichungen von Rüping (2009) verwendet, deren Werte im Fall von kalamitätsbedingten Nutzungen mit diesem Kostenfaktor multipliziert werden.

Abbildung 1. Modelle zur Beschreibung der kalamitätsbedingten Erhöhung der Holzerntekosten, jeweils für hochmechanisierte (HM) und motormanuelle (MM) Aufarbeitung (NORM: Normale Nutzung; KALAM: Nutzung nach Kalamitäten, WBR08: Holzerntekosten nach der Waldbewertungsrichtline WBR 2008).

Da bei Kalamitätsnutzungen von Holzqualitätsminderungen und erhöhten Anteilen aufgearbeiteten aber unverwertbaren Holzes (X-Holz) auszugehen ist, wurde versucht, diese naturalen Ursachen von Mindereinnahmen modellhaft zu beschreiben. Hierzu waren vier Schritte notwendig:

1. Entwicklung eines logistischen Modells zur Schätzung der Stammholzanteile
2. Entwicklung eines multinomialen Logit-Modells zur Schätzung der Stammholz-Güteklassen
3. Definition eines Modells zur Abschätzung der X-Holzanteile, die in den Primärdaten leider nicht enthalten waren.
4. Schachtelung aller drei Modelle und Berechnung des durchschnittlichen Erlöses je Efm für die resultierende Sorten- und Güteklassenverteilung

Da hier im Gegensatz zum Kostenmodell alle Variablen in derselben Auflösung, nämlich auf der Ebene der Baumartenzeile vorlagen, konnten auch Hiebe ausgewertet werden, in denen mit mehr als einem Ernteverfahren gearbeitet worden war. Ebenso konnten Selbstwerbereinsätze berücksichtigt werden, da hiervon kein Einfluss auf die Zielvariablen zu erwarten ist. Analog zum Kostenmodell wurden die Daten mit folgenden Filtern auf Plausibilität gepüft:Mind. 10 Efm Einschlagsvolumen je Baumart, -1 <= Ertragsklasse <= 5 und 10 cm <=Dg (kal.) <= 70 cm.

Voruntersuchungen zeigten, dass die Baumart - erwartungsgemäß - auf die Stammholz- und Güteklassenanteile einen deutlichen Einfluss hat, gleichzeitig für viele Baumarten aber nur sehr wenige Beobachtungen mit Kalamitätsnutzung vorlagen. Daher wurden hier nur die beiden häufigsten Baumarten Fichte und Buche ausgewertet. Deren Ergebnisse müssen dann auf die anderen Nadel- und Laubbaumarten übertragen werden. Auffällig war, dass in vielen Fällen trotz großer Durchmesser überhaupt kein Stammholz vorkam und umgekehrt bei sehr geringen Durchmessern der Stammholzanteil 100 % betrug. Es wird angenommen, dass dies auf Ungenauigkeiten bei der Verbuchung zurückzuführen ist. Um den Einfluss dieser Fehlerquelle zu minimieren, wurde aus den Sortentafeln von Schöpfer und Dauber (1989) jeweils für Buche und Fichte derjenige Dg abgelesen, bei dem der Stammholzanteil ungefähr 50 % beträgt. Alle Datensätze mit einem Dg < Grenz-Dg und Sth.% = 100 oder Dg > Grenz-Dg und Sth.% = 0 blieben in der Auswertung unberücksichtigt. Somit standen insgesamt 7920 Datensätze für die Modellbildung zur Verfügung.

Die binomial-verteilte Zielvariable des Stammholzmodells wurde in Form einer zweispaltigen Matrix an die bereits genannte R-Funktion glm übergeben, mit dem Produkt aus Stammholzanteil und Einschlagsvolumen je Baumart in der ersten, und dem Produkt aus 1-Stammholzanteil und Einschlagsvolumen in der zweiten Spalte. Dadurch erhielten größere Hiebe ein größeres Gewicht, was sinnvoll ist, da bei kleinen Hiebsvolumina unter sonst gleichen Bedingungen mit einer größeren zufälligen Variation der Stammholzanteile zu rechnen ist.

Das resultierende Logit-Modell zur Prognose der Zielvariable Stammholzanteil hat folgende Form und Koeffizienten:

SH ~ BA + NA + BA:NA + 1/Dg

1. mit
2. SH = Stammholzanteil
3. BA = Baumart
4. NA = Nutzungsart
5. Dg = Durchmesser des Grundflächenmittelstamms des aussch. Bestandes in cm

Koeffizienten:

		Std.fehler	t-Wert	P(>|t|)
Interzept	4.18758	0.02518	166.278	< 2e-16 ***
BA:BU	-1.87142	0.01403	-133.425	< 2e-16 ***
NA.KALAM	-0.52384	0.01644	-31.870	<2e-16 ***
1/Dg	-96.07517	0.72113	-133.228	< 2e-16 ***
BA.BU:NA.KALAM	0.15439	0.04683	3.297	0.000977 ***

Erklärte Deviance (McFaddens-R²): 0.5086

Das relativ hohe Pseudo-R² deutet - trotz erheblicher Reststreuung - auf eine gute Modellanpassung hin, was auch Abb. 2 illustriert. Der Vergleich mit den Stammholzanteilen nach Schöpfer/Dauber zeigt eine gute Übereinstimmung im niederigen Durchmesserbereich, danach liegen die Modellprognosen aber deutlich unter den Werten der jeweiligen Sortentafel. Dies könnte, wie schon beim Kostenmodell, durch die hohe Streung bedingt sein, die einen stärkeren Gradienten im Kurvenverlauf verhindert. Zum anderen stammen die Werte bis 35 cm Durchmesser überwiegend aus Harvesternutzungen, von denen bekannt ist, dass sie aufgrund der Kurzholzaufarbeitung mit häufiger autretenden "Reststücken" und der Möglichkeit der kostengünstigen Aufarbeitung von Industrieholz etwas geringere Stammholzanteile liefern (Offer und Staupendahl 2009).

Das Arbeitsverfahren wurde hier bewusst nicht als erklärende Variable in das Modell aufgenommen, da die motormanuelle Aufarbeitung hauptsächlich im Starkholz stattfindet, während Nutzungen in Beständen geringerer Dimension vorwiegend mit dem Harvester durchgeführt werden (s. a. Abb. 1). Der Verlauf der jeweiligen Funktionen wäre damit zum großen Teil durch fehlende Werte im Schwach- bzw. Starkholz bedingt und somit nicht repräsentativ. Das hier vorgestellte Modellhingegen beruht auf Beobachtungen über den gesamten Durchmesserbereich und spiegelt in seinen Prognosen somit die gängige Aufarbeitungspraxis wieder.

Abbildung 2. Beobachtete und geschätzte Stammholzanteile bei Fichte und Buche in Abhängigkeit von der Nutzungsart (NORM: Normale Nutzung; KALAM: Nutzung nach Kalamitäten) und vom Mitteldurchmesser des ausscheidenden Bestandes (Dg). Zum Vergleich sind die Stammholzanteile der Sortentafeln '82/'85 nach Schöpfer und Dauber (1989) eingezeichnet.

Das multinomiale Logit-Modell stellt eine Erweiterung des Verfahrens der binären logistischen Regression auf eine kategoriale abhängige Variable mit mehr als zwei Ausprägungen dar. Es wurde hier für die Schätzung der Stammholz-Güteklassenanteileparametrisiert . Wie schon bei der logistischen Regression werden die Regressionsparameter auf der Grundlage des Maximum-Likelihood-Verfahrens geschätzt, wofür in R die Funktion multinom des Package nnet genutzt wird. Analog zum logistischen Stammholzmodell wurde die Zielvariable in Form von Güteklassenanteilen übergeben, die mit denEinschlagsvolumina je Baumart gewichtet waren. Das resultierende Modell lautet:

GK ~ BA + NA + 1/Dg

• mit
• GK = Güteklassenanteile
• BA = Baumart
• NA = Nutzungsart
• Dg = Durchmesser des Grundflächenmittelstamms des aussch. Bestandes in cm

Koeffizienten (die Ziffern 2-5 bezeichnen die Güteklassen, der Anteil der Güteklasse 1 ist durch die Anteile der übrigen vier bestimmt und muss somit nicht geschätzt werden):

	Interzept	BA.BU	NA.KALAM	1/Dg
2	3.814921	-4.110525	16.0695	146.5536
3	-1.425237	-3.986161	16.88035	335.1443
4	3.119499	-2.344356	15.61523	123.8378
5	3.39098	-3.134589	16.41374	127.8841

Erklärte Deviance (McFaddens-R²): 0.1582

Um ein stabiles Modell zu erhalten, blieben Wechselwirkungen bewußt unberücksichtigt, auch wenn Sie zu einer signifikanten Verbesserung des Modells führten.

Als dritte Komponente des Sortimentsmodells wurde eine Funktion zur Schätzung des X-Holzanteils benötigt. Diese wird von Pausch (2002) für Fichten-Buchen-Mischbestände Ost- und Nordbayerns mit

XH% = 317.41 * dg^-1.2575

angegeben. Da Zahlen zur Veränderung des X-Holzanteils bei Kalamitätsnutzung nicht zur Verfügung standen, wird der oben angegebene Wert im Fall von Kalamitätsnutzungen gutachtlich um 10 %-Punkte erhöht.Die Anwendung des vollständigen, geschachtelten Modells zeigt Abb. 3 am Beispiel der Fichte.

Abbildung 3. Modell zur Schätzung der kalamitätsbedingten Verschiebung der Sorten- und Güteklassenanteile, hier für die  Baumart Fichte. Die vertikalen Linien markieren die Quantile der dem Modell zugrundeliegenden Durchmesserdaten (••••• 0,01- und 0,99-Quantile, – – oberes und unteres Quartil, —— Median)

Die modellierten Sortimentsanteile mit und ohne Kalamitätseinfluss konnten nun mit Marktpreisen bewertet werden, indem die Stärkeklassenverteilungen und die mit den Leitsortimentpreisen multiplizierten Preismatrizen der Waldbewertungsrichtlinie WBR 2008 über die Baumart, Güteklasse und den Dg mit den Sorten- und Güteklassen des Sortimentsmodells verknüpft wurden. Für Durchmesserwerte von 10 bis 70 cm (in 2 cm-Stufen) wurde dann der mit den jeweiligen Sortimentsanteilen und für die Stammholzanteile zusätzlich mit den Stärkeklassenanteilen gewichtete mittlere Erlös je Efm berechnet. Dem liegt die natürlich vereinfachende Annahmen zugrunde, dass die Güteklassenverteilung innerhalb jeder Stärkeklasse identisch ist. Zudem ist die Verteilung der Stärkeklassen, da sie der WBR 2008 entnommen werden musste, durch Kalamitäten unbeeinflusst. Für Douglasie und Kiefer wurde das Fichten-Sortimentsmodell und für Eiche das Buchen-Sortimentsmodell verwendet. Das Ergebnis dieser Berechnungen zeigt Abb. 4.

Abbildung 4. Holzpreise bei planmäßiger (——) und Kalamitätsnutzung  (– –) und sich daraus ergebende Erlösminderungsfaktoren für die Hauptbaumarten.

Der kalamitätsbeeinflusste Holzerlös dividiert durch den Holzerlös bei regulärer Nutzung ergibt den kalamitätsbedingten Erlösminderungsfaktor. Wie man in Abb. 4 re. erkennen kann, ist dieser Faktor baumartenspezifisch und durchmesserabhängig. Zur einfacheren Nutzung in Kalkulationsmodellen wurde für jede Baumart ein Polynom 4. Grades angepasst (EF = a + b*Dg + c*Dg² + d*Dg³ + e*Dg⁴.

Deren Koeffizienten lauten:

Baumart	a	b	c	d	e
Eiche	8.104e-01	1.190e-02	-5.807e-04	8.868e-06	-4.575e-08
Buche	8.376e-01	6.926e-03	-3.089e-04	4.623e-06	-2.469e-08
Fichte	1.076	-2.709e-02	1.009e-03	-1.492e-05	7.691e-08
Douglasie	1.056	-2.403e-02	8.815e-04	-1.298e-05	6.713e-08
Kiefer	9.802e-01	-1.412e-02	5.658e-04	-9.417e-06	5.582e-08

Eine Anwendung dieser Funktionen außerhalb des hier dargestellten Durchmesserbereichs ist natürlich nicht möglich, dürfte aber unter praxisüblichen Bedingungen auch kaum notwendig sein.Über die zugrundeliegenden Holzpreis-Matrizen erlaubt dieses erfahren eine schnelle Anpassung an geänderte Marktpreise. Bei der Schätzung der absoluten Preise muss jedoch aufgrund der ungeklärten Genauigkeit der zugrundeliegenden Daten trotz grundsätzlicher Plausibilität mit evtl. deutlichen Abweichungen von den wahren Werten gerechnet werden. Der Erlösfaktor als Verhältnis von normalen und kalamitätsbeeinflussten Durchschnittspreisen sollte aber relativ stabil sein. Daher werden die Erlöse aus normalen Nutzungen wiederum mit Hilfe von existierenden Erlösfunktionen (Rüping 2009) kalkuliert; die Preise bei Kalamitätsnutzung ergeben sich dann durch Multiplikation dieser Preise mit dem Erlösfaktor.

Risikomodell:

Die Überlebenswahrscheinlichkeit ist der zentrale Begriff des Risikomodells. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Waldbestand auf gegebenem Standort mindestens ein bestimmtes Alter erreicht und kann auch als Anteil der ursprünglichen Bestandesfläche interpretiert werden, der zu einem bestimmten Alter im Durchschnitt noch vorhanden ist.

Die überlebenswahrscheinlichkeit basiert auf der Verteilung der Zufallsvariable T "Alter zum Zeitpunkt des Ausfalls", die im Teilmodell 1 mit Hilfe der Weibullfunktion beschrieben wird, da sie nur zwei Parameter benötigt und trotzdem sehr unterschiedliche Verteilungsformen wiedergeben kann. Mit Hilfe der Dichtefunktion der Weibullverteilung lassen sich dann die Anteile der ursprünglichen Fläche ermitteln, die im Durchschnitt in einer bestimmten Altersklasse ausfallen werden (unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit). Sie ist definiert als

• und
• t = Alter
• α = Formparameter
• β = Skalenparameter

Die Verteilungsfunktion der Weibullverteilung als Integral der Dichtefunktion besagt in diesem Fall, wie viel Prozent der ursprünglichen Fläche im Mittel bis zu einem bestimmten Alter ausgefallen sind:

Da die überlebenswahrscheinlichkeit der Komplementärwert zur Ausfallwahrscheinlichkeit ist, ist die überlebensfunktion S(t) = 1 − F(t):

Schließlich lässt sich die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit (Hazardrate) als Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bisher verbliebene Fläche innerhalb der Betrachtungsperiode ausfällt, mit Hilfe der Risikofunktion (Hazardfunktion) beschreiben:

Die Hazardrate ist identisch mit dem Komplementärwert der in der forstlichen Literatur gebräuchlichen übergangswahrscheinlichkeit. Bei alternden Systemen steigt sie mit zunehmender Zeitdauer. So ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit f(200), dass ein Fichtenbestand mit 200 Jahren ausfällt, sehr klein, da die Wahrscheinlichkeit S(200), dass er überhaupt 200 Jahre alt wird, ebenfalls sehr klein ist. Unter der Bedingung, 200 Jahre überlebt zu haben, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls dann jedoch sehr groß (jedenfalls größer, als nach 30 Jahren auszufallen). Die Hazardfunktion zeigt somit, wie sich das Risiko eines Ausfalls im Laufe der Zeit verändert.

Um die Interpretierbarkeit der Koeffizienten zu erhöhen, wurde der bis zum Alter 100 verbleibende Flächenanteil als Variable S₁₀₀ in die Gleichung der Überlebensfunktion einsetzt und nach ß aufgelöst. Ersetzt man β in der Überlebensfunktion durch den resultierenden Ausdruck, erhält man

Als Koeffizienten verbleiben somit S₁₀₀ und α, wobei S₁₀₀ das generelle Risikoniveau angibt, während β den zeitlichen Verlauf des Risikos bestimmt:

α < 1	Streng monoton fallende Ausfallrate
α = 1	Konstante Ausfallrate ("gedächtnisfreies" Modell, d.h. das Risiko zum jeweiligen Zeitpunkt ist unabhängig von der bis dahin verbrachten Lebenszeit; ergibt eine exponentielle Verteilung von T)
1 < α < 2	Degressiv steigende Ausfallrate
α = 2	Konstant steigende Ausfallrate
α > 2	Progressiv steigende Ausfallrate
α = 3,4	Ergibt eine annähernd normale Verteilung von T

Abb. 5 zeigt die Überlebensfunktionen für die Hauptbaumarten, basierend auf den Daten der Rheinland-Pfälzischen Waldschadenserhebung der Jahre 1995 bis 2008 (Staupendahl 2009, s. a. Tab. 1).

Abbildung 5. An die Daten der Waldschadenserhebung aus Rheinland-Pfalz angepasste Überlebensfunktionen des Weibullmodells zur Prognose der durchschnittlichen Überlebenswahrscheinlichkeiten der Hauptbaumarten.

Tabelle 1. Parameter der Überlebensfunktion S(t) bei weibullverteilten Ausfallzeiten (2009).

	Eiche	Buche	Fichte	Douglasie	Kiefer
S100	0.9705	0.9666	0.7256	0.9157	0.9236
α	2.7482	1.7561	2.7796	3.1073	2.4487

In Teilmodell 1 werden die in jeder 5-jährigen Altersstufe zu erwartenden Flächenausfälle mit Hilfe der oben beschriebenen Überlebensfunktion geschätzt. Dies ist deshalb notwendig, weil durch die Module der AP 1, 2 und 4 die Ausfallwahrscheinlichkeiten nur im Altersintervall U +/- 15 ermittelt werden, wobei U der regulären Umtriebszeit entspricht. Für den Parameter α der Überlebensfunktion werden die in Tab. 1 angegebenen Werte verwendet, während β in Abhängigkeit von der gesamten Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb des Zeitintervalls U +/- 15 bestimmt wird. Diese setzt sich aus den bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten h_i für Windwurf/-bruch, Trockenstress und Insekten zusammen, mit i = 1..3 (Index der Risikoart), und berechnet sich zu

Die Kombination der Einzelrisiken durch Multiplikation der zugehörigen Übergangswahrscheinlichkeiten (Übergangswahrscheinlichkeit = 1 – Ausfallwahrscheinlichkeit) entspricht dem Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und unterstellt vereinfachend, dass die Einzelrisiken voneinander unanhängig sind. Ist h_U bekannt, wird β iterativ bestimmt, indem derjenige Wert gesucht wird, bei dem die resultierende Überlebensfunktion im Intervall U +/- 15 annähernd die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit h_U liefert.

Im Teilmodell 2 erfolgt die Einschätzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten dynamisch. Am Anfang jeder hier betrachteten Periode ist die Überlebenswahrscheinlichkeit jedes Bestandes 1, d. h. es wird von einem ungestörten Zustand ausgegangen. Aus den in einem Zeitschritt von 10 Jahren geschätzten Ausfallwahrscheinlichkeiten aufgrund von Trockenstress, Windwurf/-bruch und Borkenkäferbefall werden jeweils durch Multiplikation der komplementären Übergangswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten eines Bestandesausfalls innerhalb der gesamten Periode berechnet. Die sich daraus ergebenden periodischen Ausfallwahrscheinlichkeiten der drei Einzelrisiken werden auf gleiche Weise zur gesamten periodischen Ausfallwahrscheinlichkeit kombiniert (s.o.). Da die Prognose des Eintrittszeitpunktes von Kalamitäten mit hohen Unsicherheiten behaftet ist, folgt die Überlebensfunktion innerhalb der betrachteten Periode einer Geraden zwischen den Punkten (t₁, 1) und (t₂, 1-Gesamtausfallwahrscheinlichkeit), wobei t₁ und t₂ das Alter zum Anfang und Ende der Periode bezeichnen. Der Gesamtausfall wird somit gleichmäßig auf den 30-jährigen Periodenzeitraum verteilt.

Die Berechnung der Annuität erfolgt prinzipiell durch die Multiplikation des Kapitalwerts für eine gegebene Produktionsdauer mit dem so genannten Annuitäten- oder Wiedergewinnungsfaktor. Dabei wird von einem Abtrieb des Bestandes am Ende des jeweiligen Intervalls ausgegangen. In Teilmodell wird vom so berechneten Kapitalwert (der hier ggf. keine Investitionen enthält) der Abtriebswert am Anfang der Periode abgezogen. Nach Multiplikation mit dem Annuitätenfaktor ergibt sich daraus der durchschnittliche jährliche Holzproduktionswert.

Auf der Basis der beschriebenen Produktions-, Kosten-/Erlös- und Risikomodelle kann nun der jährliche Holzproduktionswert berechnet werden. Er stellt eine jährliche Überschussgröße dar, die theoretisch der laufenden Holzproduktion je Jahr entnommen werden kann, enthält also keine Erträge und Aufwendungen aus Nebennutzungen, Jagd, etc. Ebenfalls sind die jährlichen Fixkosten nicht einbezogen. Der Holzproduktionswert bezieht sich auf eine gegebene Produktionsdauer, die in Teilmodell 1 der regulären Umtriebszeit, also dem Intervall [0,U], in Teilmodell 2 dem Intervall [t, U] entspricht; t ist dabei das vom Nutzer gewählt Startalter. Am Ende des Intervalls wird vom Abtrieb des ideelen Bestandes ausgegangen. Von diesem Abtriebswert, zzgl. der Deckungsbeitragssumme aller im Intervall stattgefundenen Vornutzungen, wird der Abtriebswert am Anfang der Periode abgezogen (in Teilmodell 1 ist dieser negativ und entspricht den Kulturkosten). Bei der Berechnung werden folgende Bedingungen unterstellt:

1. Aufforstungskosten von 7.000 EUR/ha für Eiche, 5.000 EUR/ha für Buche, 2.250 EUR/ha für Fichte, 3.300 EUR/ha für Douglasie und 2.500 EUR/ha für Kiefer (Möhring und Rüping, 2006)
2. Jungwuchspflege/Läuterung im Alter 10 und 20 mit Kosten von jeweils 250 EUR/ha für alle Baumarten (Möhring und Rüping, 2006)
3. Hochmechanisierte Holzernte
4. Kalamitäten wirken nur als Flächenverluste (=> keine evtl. kompensierenden Wachstumsreaktion des verbleibenden Bestandes)
5. Nach Kalamitäten wird von sofortiger Wiederaufforstung ausgegangen

Durch das Risiko vorzeitiger Ausfälle gibt es für jede Periode und Baumart allerdings nicht nur eine Produktionsdauer, sondern eine Häufigkeitsverteilung von Produktionsdauern und damit von Holzproduktionswerten, die durch die Überlebensfunktion vorgegeben wird. Die Differenzen zwischen den Erwartungswerten des Holzproduktionswerts mit und ohne Berücksichtigung von Risiko werden als Risikokosten interpretiert und dargestellt. Um die Ertragsleistung beurteilen zu können, werden im DSS zusätzlich der Erwartungswert und die 0,1- und 0,9-Quantile des Holzproduktionswertes unter Risiko angegeben. Die sich daraus ergebende Spanne gibt einen Hinweis auf die Größenordnung der Unsicherheiten der Kalkulation und erlaubt bei der Bewertung, im Sinne der Portfolio-Theorie, Interpretationen bei geringerer und höherer Risikobereitschaft (s. Abb. 6).

Abbildung 6. Heutige und auf einem Szenario beruhende zukünftige Verteilungsfunktionen des durchschnittlichen jährlichen Holzproduktionswertes in einem Fichten- und Buchenbetrieb bei Berücksichtigung naturaler Risiken. Zugrunde gelegt wurden eine 2. Ertragsklasse (für beide Baumarten) und Überlebenswahrscheinlichkeiten im Alter 100 von 0,7 (Fichte heute) und 0,3 (Fichte zukünftig) bzw. 0,82 (Buche heute) und 0,7 (Buche zukünftig). Die horizontalen Pfeile markieren das 0,1-, 0,5- und 0,9-Quantil.

Ein risikoscheuer Waldbesitzer wird in dem in Abb. 6 dargestellten Szenario das 0,1-Quantil wählen, da dieser Wert den Holzproduktionswert angibt, der in 90% der Fälle mindestens erreicht wird, und evtl. deswegen in Zukunft der Buche den Vorzug geben, die hier einen höheren Wert aufweist als die Fichte. Ein risikofreudiger Anleger wird hingegen weiterhin auf die Fichte setzen, deren 0,9-Quantil das der Buche auch unter deutlich höherem Risiko eindeutig übersteigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass mit der Buche unter diesem Szenario ein höherer Deckungsbeitrag erzielt werden kann, beträgt allerdings rund 40 %, während unter heutigen durchschnittlichen Bedingungen und bei mittleren Ertragsklassen von einer eindeutigen ökonomischen Überlegenheit der Fichtenwirtschaft auszugehen ist − trotz höheren Risikos.

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